最終更新日 2009年7月7日

Hopf 代数のコホモロジー

HZ2*(E8)のcohomology




 リー群 E8の Z2 cohomology の cohomology の 計算を出来るところまで計算してみます。

 まず、出発点は E1 term の決定です。これは May complex で与えられます。

なので、代数としては cobar construction で
 [x3], [x5], [x3^2], [x9], [x5^2], [x3^4], [x15], [x17], [x9^2], [x5^4], [x23], [x3^8], [x27], [x29], [x15^2]
で表される元で生成される polynomial algebra です。これらを
 a2, a4, a5, a8, a9, a11, b14, a16, a17, a19, b22, a23, b26, b28, b29
で表現することにします。
 微分は


なので、 cobar construction で
d[x3]=0, d[x5]=0, d[x3^2]=0, d[x9]=0, d[x5^2]=0, d[x3^4]=0, d[x15]=[x3/x3^4]+[x5/x5^2]+[x9/x3^2], d[x17]=0, d[x9^2]=0, d[x3^4]=0, d[x23]=[x3/x5^4]+[x5/x9^2]+[x17/x3^2], d[x27]=[x3/x3^8]+[x9/x9^2]+[x17/x5^2], d[x29]=[x5/x3^8]+[x9/x5^4]+[x17/x3^4], d[x15^2]=[x3^2/x3^8]+[x5^2/x5^4]+[x9^2/x3^4] となるので、
d1(a2)=0, d1(a4)=0, d1(a5)=0, d1(a8)=0, d1(a9)=0, d1(a11)=0, d1(b14)=a2a11+a4a9+a8a5, d1(a16)=0, d1(a17)=0, d1(a19)=0, d1(b22)=a2a19+a4a17+a16a5, d1(a23)=0, d1(b26)=a2a23+a8a17+a16a9, d1(b28)=a4a23+a8a19+a16a11, d1(b29)=a5a23+a9a19+a17a23 で与えられます。E1 term の微分代数としての構造が決まりましたので、all.exe というソフトで ホモロジーの構造を決定します。all.exe は gen.dat と rel.dat という二つのファイルに 微分代数の情報をセットして実行します。gen.dat には 生成元と微分の情報を deg, dim, weight, name, differential の順に並べます。 deg は通常と異なり、degree - dimension を deg としています。 これは all.exe を使って私が本当に計算したい A2 の cohomology を計算するとき、 球面の安定ホモトピー群と旨く対応させるためにこのようにしています。 name はメモリを少なくするために、
 0=[x3], 1=[x5], 2=[x3^2], 3=[x9], 4=[x5^2], 5=[x3^4], 6=[x15], 7=[x17], 8=[x9^2], 9=[x5^4], 10=[x23], 11=[x3^8], 12=[x27], 13=[x29], 14=[x15^2]
と数字で表現しています。また、cocycle の場合 differential には E をセットしています。 今の場合、gen.dat は次のようになります。
2 1 0 0 E 4 1 0 1 E 5 1 0 2 E 8 1 0 3 E 9 1 0 4 E 11 1 0 5 E 14 1 1 6 0*5+1*4+3*2 16 1 0 7 E 17 1 0 8 E 19 1 0 9 E 22 1 1 10 0*9+1*8+2*7 23 1 0 11 E 26 1 1 12 0*11+3*8+4*7 28 1 1 13 1*11+3*9+5*7 29 1 1 14 2*11+4*9+5*8  rel.dat は relation の情報を degree, dimension, weight, =0 無しの relation の順で並べますが、今の場合、 polynomial algebra なので、relation は無いので、空のファイルとします。

 all.exe は all weight dim または all -r deg weight dim の形式で実行します。これは、 indecomposable elements と defining relations を探索する範囲を指定するための引数です。 weight は微分の weight の差を指定します。dim は探索する dimension の上限を指定します。 -r deg は主として A2 のための指定で、探索する degree の上限を指定します。
 この微分代数のホモロジーの indecomposable elements と defining relations が存在しうる範囲を 予想し、この場合、十分余裕をとっても dim <= 9 で大丈夫のはずであるので、 コマンドプロンプトで
 all 1 9


を実行します。 ここで、1 は E1 term のホモロジーを計算するので differential の weight の差 1 を指定します。 約40分で終了します。


この微分代数のホモロジー(E2 term)の indecomposable elements と defining relations が ind.dat と def.dat にセットされます。ind.dat は次のようになっています。 0 0 1 2 0 1 1 1 4 0 2 2 1 5 0 3 3 1 8 0 4 4 1 9 0 5 5 1 11 0 6 7 1 16 0 7 8 1 17 0 8 9 1 19 0 9 11 1 23 0 10 6^2 2 28 2 11 6*7+3*10+1*12+0*13 2 30 1 12 6*8+2*12+0*14+4*10 2 31 1 13 6*9+5*10+2*13+1*14 2 33 1 14 6*11+5*12+4*13+3*14 2 37 1 15 10^2 2 44 2 16 9*12+10*11+7*14+8*13 2 45 1 17 12^2 2 52 2 18 13^2 2 56 2 19 14^2 2 58 2 20 6*9*12+6*10*11+5*10*12+6*8*13+2*12*13+1*12*14+0*13*14+3*10*14+4*10*13+6*7*14 3 59 2  name, representative, dimension, degree, weight の順に並んでいます。
10 6^2 2 28 2
は 10 と名前を付けた gen.dat の元を使った表現で 6^2 で表される dim = 2 deg = 28 weight = 2 の indecomposable element があることを 表していて、E2 term には cobar construction での表現で [x15/x15] から始まる indecomposable element が あることを表しています。同じく
11 6*7+3*10+1*12+0*13 2 30 1
は 11 と名前を付けた gen.dat の元を使った表現で 6*7+3*10+1*12+0*13 で表される dim = 2 deg = 30 weight = 1 の indecomposable element があることを表していて、E2 term には cobar construction での表現で [x15/x17]+[x9/x23]+[x5/x27]+[x3/x29] から始まる indecomposable element があることを表しています。
 def.dat は次のようになっています。ind.dat で与えた indecomposable elements が満たす defining relationas が 与えられています。 2*3+1*4+0*5 2 13 0 2*6+1*7+0*8 2 21 0 4*6+3*7+0*9 2 25 0 5*6+3*8+1*9 2 27 0 5*7+4*8+2*9 2 28 0 2*11+1*12+0*13 3 35 1 4*11+3*12+0*14 3 39 1 5*11+3*13+1*14 3 41 1 5*12+4*13+2*14 3 42 1 7*11+6*12+0*16 3 47 1 8*11+6*13+1*16 3 49 1 8*12+7*13+2*16 3 50 1 9*11+6*14+3*16 3 53 1 9*12+7*14+4*16 3 54 1 9*13+8*14+5*16 3 56 1 11^2+6^2*10+3^2*15+1^2*17+0^2*18 4 60 2 11*12+6*7*10+3*4*15+1*2*17+0*20 4 61 2 12^2+7^2*10+4^2*15+2^2*17+0^2*19 4 62 2 11*13+6*8*10+3*5*15+1*20+0*2*18 4 63 2 12*13+7*8*10+4*5*15+2*20+0*1*19 4 64 2 13^2+8^2*10+5^2*15+2^2*18+1^2*19 4 66 2 11*14+6*9*10+3*20+1*5*17+0*4*18 4 67 2 12*14+7*9*10+4*20+2*5*17+0*3*19 4 68 2 13*14+8*9*10+5*20+2*4*18+1*3*19 4 70 2 14^2+9^2*10+5^2*17+4^2*18+3^2*19 4 74 2 11*16+6*20+3*9*15+1*8*17+0*7*18 4 75 2 12*16+7*20+4*9*15+2*8*17+0*6*19 4 76 2 13*16+8*20+5*9*15+2*7*18+1*6*19 4 78 2 14*16+9*20+5*8*17+4*7*18+3*6*19 4 82 2 11*20+6*10*16+3*14*15+1*13*17+0*12*18 5 89 3 16^2+9^2*15+8^2*17+7^2*18+6^2*19 4 90 2 12*20+7*10*16+4*14*15+2*13*17+0*11*19 5 90 3 13*20+8*10*16+5*14*15+2*12*18+1*11*19 5 92 3 14*20+9*10*16+5*13*17+4*12*18+3*11*19 5 96 3 16*20+9*14*15+8*13*17+7*12*18+6*11*19 5 104 3 20^2+9^2*10*15+8^2*10*17+7^2*10*18+6^2*10*19+5^2*15*17+4^2*15*18+3^2*15*19+2^2*17*18+1^2*17*19+0^2*18*19 6 118 4  relation, dimension, degree, weight の順に並んでいます。
 結果を見ると all 1 7 で良かったことが分かります。これなら約3分で終了します。 all 1 8 なら約10分で終了します。all 1 10 なら約60分でメモリーが足りなくなって異常終了します。


 計算時間を犠牲にして、必要最小限度のデータを記憶するようにして使用記憶容量が少なくてすむように 修正した all.exe を使って計算すると all 1 5 で4秒、all 1 6 で22秒、 all 1 7 で1分47秒、all 1 8 なら8分39秒、all 1 9 なら52分18秒かかります。 必要記憶容量の目安になる最大要素数は all 1 5 では 90, all 1 6 では 248, all 1 7 では 616, all 1 8 では 1377, all 1 9 では 3062 で、 それぞれ概数ですが 90*5, 248*6, 616*7, 1377*8, 3062*9 に比例したメモリーが必要だったと思われます。大して計算時間が変わっていないように見えますが、 探索する範囲が広がれば広がるほど無駄な同じ計算を繰り返しますから、これから先の計算では 原理的に計算時間が大量に必要になり計算時間は改善されていません。尤も計算出来なければ話に なりませんから、これは以下の計算のためには必要不可欠な改良になっています。



 つぎのステップは微分代数 E2 term を決定するために、代数構造は分かりましたから、微分を決定します。 indecomposable elements 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16 は weight が1以下ですから 微分 d2 は 0 です。したがって、 10 : [x15/x15], 15 : [x23/x23], 16 : [x5^4/x27]+[x23/x3^8]+[x17/x15^2]+[x9^2/x29], 17 : [x27/x27], 18 : [x29/x29], 19 : [x15^2/x15^2], 20 : [x15/x5^4/x27]+[x15/x23/x3^8]+[x3^4/x23/x27]+[x15/x9^2/x29] +[x3^2/x27/x29]+[x5/x27/x15^2]+[x3/x29/x15^2]+[x9/x23/x15^2]+[x5^2/x23/x29]+[x15/x17/x15^2] の微分を 決定すればいいです。

d2(10) を決定します。diff.exe を使います。diff.exe を実行します。b を選択し、[15/15] を入力します。


y を入力すると計算を始めます。直ちに停止します。


a5a5a17+a11a8a8+a19a4a4+a9a9a9+a23a2a2+a11a11a5 は weight 0 の元で、cocycle ですから d2(10)=2^2*7+5*3^2+8*1^2+4^3+9*0^2+5^2*2 であることが分かりました。

d2(15) を決定します。diff.exe を実行します。b を選択し、 [x23/x23] を入力します。


y を入力すると計算を始めます。直ちに停止します。


a11a16a16+a9a17a17+a5a19a19 は weight 0 の元で、cocycle ですから d2(15)=5*6^2+4*7^2+2*8^2 であることが分かりました。
d2(16) を決定します。diff.exe を実行します。b を選択し、 [x5^4/x27]+[x23/x3^8]+[x17/x15^2]+[x9^2/x29] を 入力します。


y を入力すると計算を始めます。直ちに停止します。


cocycle と表示して終了したので、16 は permanent cocycle です。

d2(17) を決定します。diff.exe を実行します。b を選択し、 [x27/x27] を入力します。


y を入力すると計算を始めます。直ちに停止します。


a19a16a16+a17a17a17+a23a23a25 は weight 0 の元で、cocycle ですから d2(17)=8*6^2+7^3+9^2*2 であることが分かりました。

d2(18) を決定します。diff.exe を実行します。b を選択し、[x29/x29] を入力します。


y を入力すると計算を始めます。直ちに停止します。


a23a16a16+a19a19a17+a23a23a9 は weight 0 の元で、cocycle ですから d2(18)=9*6^2+8^2*7+9^2*4 であることが分かりました。

d2(19) を決定します。diff.exe を実行します。b を選択し、[x15^2/x15^2] を入力します。


y を入力すると計算を始めます。直ちに停止します。


a23a17a17+a19a19a19+a23a23a11 は weight 0 の元で、cocycle ですから d2(19)=9*7^2+8^3+9^2*5 であることが分かりました。

d2(20) を決定します。diff.exe を実行します。b を選択し、 [x15/x5^4/x27]+[x15/x23/x3^8]+[x3^4/x23/x27]+[x15/x9^2/x29] +[x3^2/x27/x29]+[x5/x27/x15^2]+[x3/x29/x15^2]+[x9/x23/x15^2]+[x5^2/x23/x29]+[x15/x17/x15^2] を入力します。


y を入力すると計算を始めます。直ちに停止します。


a23a2a17a16+a23a11a8a16+a19a19a4a16+a5a19a17a17+a23a9a9a17+a23a11a5a19 は weight 0 の元で、cocycle ですから d2(20)=9*0*7*6+9*5*3*6+8^2*1*6+2*8*7^2+9*4^2*7+9*5*2*8 であることが分かりました。


 E4 term を計算する準備が整いました。
 次の gen.dat は上で計算した ind.dat を書き換えて、次のようにします。
2 1 0 0 E 4 1 0 1 E 5 1 0 2 E 8 1 0 3 E 9 1 0 4 E 11 1 0 5 E 16 1 0 6 E 17 1 0 7 E 19 1 0 8 E 23 1 0 9 E 28 2 2 10 2^2*7+5*3^2+8*1^2+4^3+9*0^2+5^2*2 30 2 1 11 E 31 2 1 12 E 33 2 1 13 E 37 2 1 14 E 44 2 2 15 5*6^2+4*7^2+2*8^2 45 2 1 16 E 52 2 2 17 8*6^2+7^3+9^2*2 56 2 2 18 9*6^2+8^2*7+9^2*4 58 2 2 19 9*7^2+8^3+9^2*5 59 3 2 20 9*0*7*6+9*5*3*6+8^2*1*6+2*8*7^2+9*4^2*7+9*5*2*8  また、次の rel.dat は上で計算した def.dat を書き換えて、次のようにします。
13 2 0 2*3+1*4+0*5 21 2 0 2*6+1*7+0*8 25 2 0 4*6+3*7+0*9 27 2 0 5*6+3*8+1*9 28 2 0 5*7+4*8+2*9 35 3 1 2*11+1*12+0*13 39 3 1 4*11+3*12+0*14 41 3 1 5*11+3*13+1*14 42 3 1 5*12+4*13+2*14 47 3 1 7*11+6*12+0*16 49 3 1 8*11+6*13+1*16 50 3 1 8*12+7*13+2*16 53 3 1 9*11+6*14+3*16 54 3 1 9*12+7*14+4*16 56 3 1 9*13+8*14+5*16 60 4 2 11^2+6^2*10+3^2*15+1^2*17+0^2*18 61 4 2 11*12+6*7*10+3*4*15+1*2*17+0*20 62 4 2 12^2+7^2*10+4^2*15+2^2*17+0^2*19 63 4 2 11*13+6*8*10+3*5*15+1*20+0*2*18 64 4 2 12*13+7*8*10+4*5*15+2*20+0*1*19 66 4 2 13^2+8^2*10+5^2*15+2^2*18+1^2*19 67 4 2 11*14+6*9*10+3*20+1*5*17+0*4*18 68 4 2 12*14+7*9*10+4*20+2*5*17+0*3*19 70 4 2 13*14+8*9*10+5*20+2*4*18+1*3*19 74 4 2 14^2+9^2*10+5^2*17+4^2*18+3^2*19 75 4 2 11*16+6*20+3*9*15+1*8*17+0*7*18 76 4 2 12*16+7*20+4*9*15+2*8*17+0*6*19 78 4 2 13*16+8*20+5*9*15+2*7*18+1*6*19 82 4 2 14*16+9*20+5*8*17+4*7*18+3*6*19 89 5 3 11*20+6*10*16+3*14*15+1*13*17+0*12*18 90 4 2 16^2+9^2*15+8^2*17+7^2*18+6^2*19 90 5 3 12*20+7*10*16+4*14*15+2*13*17+0*11*19 92 5 3 13*20+8*10*16+5*14*15+2*12*18+1*11*19 96 5 3 14*20+9*10*16+5*13*17+4*12*18+3*11*19 104 5 3 16*20+9*14*15+8*13*17+7*12*18+6*11*19 118 6 4 20^2+9^2*10*15+8^2*10*17+7^2*10*18+6^2*10*19+5^2*15*17+4^2*15*18+3^2*15*19+2^2*17*18+1^2*17*19+0^2*18*19  本来はこの微分代数のホモロジーの indecomposable elements と defining relations が存在しうる範囲を 予想し、コマンドプロンプトで
 all 2 20
ぐらいを実行すべきですが、いままで使っていた all.exe では all 1 9 が限界でしたので、 ここでは計算時間を犠牲にして、使用記憶容量が少なくてすむように修正した all.exe を 使って all 2 11 を計算します。 ここで、2 は E2 term のホモロジーを計算するので differential の weight の差 2 を指定します。
 148時間59分24秒で終了します。どの程度の結果が得られているか調べてみます。 ind.dat は次のようになっています。
0 0 1 2 0 1 1 1 4 0 2 2 1 5 0 3 3 1 8 0 4 4 1 9 0 5 5 1 11 0 6 6 1 16 0 7 7 1 17 0 8 8 1 19 0 9 9 1 23 0 10 11 2 30 1 11 12 2 31 1 12 13 2 33 1 13 14 2 37 1 14 16 2 45 1 15 6*15+3*17+1*18+0*19 3 60 2 16 7*15+4*17+2*18 3 61 2 17 8*15+5*17+2*19 3 63 2 18 9*15+5*18+4*19 3 67 2 19 9*17+7*19+8*18 3 75 2 20 10^2 4 56 4 21 15^2 4 88 4 22 15*16+14*17+12*19+13*18 4 89 3 23 17^2 4 104 4 24 18^2 4 112 4 25 19^2 4 116 4 26 9*15*17+2*18*19+4*17*19+8*15*18+5*17*18+7*15*19 5 119 4 27 9^2*10*15+8^2*10*17+6^2*10*19+5^2*15*17+3^2*15*19+7^2*10*18+1^2*17*19+0^2*18*19+2^2*17*18+4^2*15*18 6 118 4 28 6^2*10*20+3*11*14*15+1^2*17*20+1*6*8*10*17+0*3*4*15*18+0*11*12*18 7 119 4 29 7^2*10*20+4*12*14*15+2^2*17*20+0*3*4*15*19+0*11*12*19+2*7*8*10*17 7 121 4 30 8^2*10*20+2^2*18*20+1*3*5*15*19+1*11*13*19+2*7*8*10*18+5*13*14*15 7 125 4 31 9^2*10*20+5*13*14*17+4^2*18*20+4*7*9*10*18+1*3*5*17*19+3*11*14*19 7 133 4 32 5*8^2*15*18+7^2*18*20+3*6*9*15*19+1*6*8*17*19+6*11*16*19+2*8*9*15*19+2*5*8*18*19+4*8^2*15*19+5*9*18*20+3^2*8*18*19+1*3*9*18*19+4^2*7*18*19+4*9*19*20+8*13*16*17 7 149 4 33 9^2*10*15*20+8^2*10*17*20+7^2*10*18*20+6^2*10*19*20+1*11*13*17*19+2*12*13*17*18+3*11*14*15*19+4*12*14*15*18+5*13*14*15*17+0*11*12*18*19 9 177 6
 E4 term の indecomposable elements が34個見つかっています。最後のものが dim = 9 なので、 多分全部見つかっていると思います。
def.dat は次のようになっています。

2*3+1*4+0*5 2 13 0 2*6+1*7+0*8 2 21 0 4*6+3*7+0*9 2 25 0 5*6+3*8+1*9 2 27 0 4^3+3^2*5+2*5^2+1^2*8+0^2*9+2^2*7 3 27 0 5*7+4*8+2*9 2 28 0 2*10+1*11+0*12 3 35 1 4*10+3*11+0*13 3 39 1 5*10+3*12+1*13 3 41 1 5*11+4*12+2*13 3 42 1 4*7^2+2*8^2+1*6*9+3*6*8 3 43 0 7*10+6*11+0*14 3 47 1 8*10+6*12+1*14 3 49 1 8*11+7*12+2*14 3 50 1 7^3+6^2*8+2*9^2 3 51 0 9*10+6*13+3*14 3 53 1 9*11+7*13+4*14 3 54 1 7*8^2+6^2*9+4*9^2 3 55 0 9*12+8*13+5*14 3 56 1 8^3+7^2*9+5*9^2 3 57 0 4^2*7*9+2*7^2*8+2*5*8*9+1*6*8^2+1*3*9^2+0*6*7*9+3^2*8*9 4 58 0 2*15+1*16+0*17 4 65 2 4*15+3*16+0*18 4 69 2 5*15+3*17+1*18 4 71 2 4*11^2+2*12^2+2^2*16+1*10*13+1^2*17+3*10*12+0^2*18 5 71 2 5*16+4*17+2*18 4 72 2 7*15+6*16+0*19 4 77 2 8*15+6*17+1*19 4 79 2 7*11^2+4^2*16+2*13^2+1*10*14+3^2*17+6*10*12+0^2*19 5 79 2 8*16+7*17+2*19 4 80 2 9*15+6*18+3*19 4 83 2 4*13^2+3*10*14+2*5*18+1^2*19+7*12^2+3^2*18+6*10*13+4*5*17 5 83 2 9*16+7*18+4*19 4 84 2 8*12^2+5*13^2+5^2*17+4*11*14+2^2*19+4^2*18+7*11*13 5 85 2 9*17+8*18+5*19 4 86 2 4^2*11*13+2*7*11*12+1*3*13^2+1*6*12^2+1*3*5*17+1^2*12*14+3^2*12*13+2*4^2*17+2*5*12*13+2^2*4*18+0*3*4*18+0*6*11*13+0*2*8*15+0*2*6*17+0^2*13*14+0*4*10*14 6 86 2 11*15+10*16+0*22 5 91 3 12*15+10*17+1*22 5 93 3 12*16+11*17+2*22 5 94 3 7^2*16+2*14^2+6^2*17 5 95 2 13*15+10*18+3*22 5 97 3 13*16+11*18+4*22 5 98 3 4*14^2+7*8*17+6^2*18+2*8*19 5 99 2 13*17+12*18+5*22 5 100 3 8^2*17+5*14^2+7^2*18 5 101 2 4*7*11*14+3*6*12*14+2*8*12*14+1*9*10*14+1*6*8*17+1*3*14^2+0*6*7*18+2*7^2*17+2^2*7*19 6 102 2 14*15+10*19+6*22 5 105 3 14*16+11*19+7*22 5 106 3 7*14^2+6^2*19+4*9*19+7*9*18 5 107 2 14*17+12*19+8*22 5 108 3 8*14^2+7^2*19+5*9*19+8*9*18 5 109 2 7^2*11*14+6^2*12*14+5*9*11*14+4*9*12*14+4^2*7*19+3*5*6*19+2*8^2*18+1*6*14^2+1*6*9*18+0*6*7*19 6 110 2 14*18+13*19+9*22 5 112 3 9*14^2+9^2*18+8^2*19 5 113 2 4*9*13*14+4*8*9*17+1*6*8*19+2*8*9*18+7*8*12*14+3*6*9*18+3*6*14^2+6^2*13*14 6 114 2 8^2*12*14+5*9*13*14+5^2*8*19+7^2*13*14+3*6*7*19+0*6*9*19+4^2*9*19+2*7*8*19+5*8^2*18 6 116 2 15^2+6^2*21+3^2*23+1^2*24+0^2*25 6 120 4 10^4+6^4*20+3^4*21+1^4*23+0^4*24 8 120 4 15*16+6*7*21+3*4*23+1*2*24+0*26 6 121 4 10^3*11+6^3*7*20+3^3*4*21+1^3*2*23+0*28 8 121 4 16^2+7^2*21+4^2*23+2^2*24 6 122 4 10^2*11^2+6^2*7^2*20+3^2*4^2*21+0^2*27+1^2*2^2*23 8 122 4 15*17+6*8*21+3*5*23+1*26+0*2*25 6 123 4 11^2*16+4^2*7*21+2*27+3^2*8*21+1^2*5*23+10^2*17+2^2*4*23+0^2*26 7 123 4 10*11^3+1*2^3*23+0*29+2*6*9^2*20+3^3*5*21+1*4*5^2*21+1*2*4*7*21+0*5^3*21+0*2*4*8*21+0*2^2*9*21+1^2*3*8*21+0^2*3*9*21+6^3*8*20 8 123 4 10^3*12+1*28+6^3*8*20+3^3*5*21+0^3*2*24 8 123 4 16*17+7*8*21+4*5*23+2*26 6 124 4 10^2*11*12+2*28+0*1*27+3^2*4*5*21+6^2*7*8*20 8 124 4 11^4+6^2*7*8*20+2*7*9^2*20+2^4*23+3^2*4*5*21+1^2*2*9*21+0^2*4*9*21+1^2*5*7*21+2^2*4*7*21+2*4*5^2*21+0^4*25 8 124 4 10*11^2*12+6*7^2*8*20+3*4^2*5*21+1*29+0*2*27 8 125 4 17^2+8^2*21+5^2*23+2^2*25 6 126 4 10^2*12^2+3^2*5^2*21+1^2*27+0^2*2^2*24+6^2*8^2*20 8 126 4 11^3*12+6^2*8^2*20+2*8*9^2*20+0^3*1*25+2*29+3^2*5^2*21+2*5^3*21+2^2*4*8*21+2^3*9*21+1^2*5*8*21+0^2*5*9*21 8 126 4 15*18+6*9*21+3*26+1*5*24+0*4*25 6 127 4 4*27+2*12*22+2^3*24+1^2*26+0^2*5*24+2*5*9*21+4*5*8*21+11*12*17+3^2*9*21+10^2*18 7 127 4 10*11*12^2+3*4*5^2*21+1*2*27+3*7*9^2*20+0*9^3*20+6^3*9*20+0*30 8 127 4 10^3*13+3*28+6^3*9*20+0^3*4*24+1^3*5*23 8 127 4 16*18+7*9*21+4*26+2*5*24 6 128 4 10^2*11*13+4*28+0*3*27+1^2*2*5*23+6^2*7*9*20 8 128 4 11^2*12^2+6^2*7*9*20+4*7*9^2*20+4^2*5^2*21+0^2*1^2*25+2^2*27 8 128 4 12^2*17+5*27+4^2*9*21+2^2*26+0^2*4*25+11^2*18+5^2*8*21+1^2*2*25 7 129 4 10*11^2*13+3*29+1*2^2*5*23+6*7^2*9*20+0*2*12*22+0*2*5*9*21+0*1*15*17+0*1*6*8*21+0*1*3*5*23+0^3*5*24+0*2^3*24+0*3^2*9*21+0*4*5*8*21+0*10^2*18+0*11*12*17+0^2*1*2*25 8 129 4 10*12^3+3*5^3*21+1*30+0*2^3*24+3*8*9^2*20+1*9^3*20+6*7^2*9*20 8 129 4 17*18+8*9*21+5*26+2*4*25 6 130 4 10^2*12*13+2*30+2*11^2*17+2^2*11*22+2*4^2*8*21+2^2*4*9*21+1*3*27+0^2*2*4*24+1*3*5*8*21+1*10*12*17+0*3*4*9*21+0*2*6*8*21+0*1*16*17+0^2*17^2+0^2*2^2*25+0*10*11*18+0^2*5^2*23+0*1*4*5*23+4*29+6^2*8*9*20 8 130 4 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10^3*14+6*28+3^3*9*21+1^3*8*23+0^3*7*24 8 135 4 16*19+7*26+4*9*23+2*8*24 6 136 4 10^2*11*14+7*28+3^2*4*9*21+1^2*2*8*23+0*6*27 8 136 4 11^2*13^2+7^2*9^2*20+4*12^2*16+3*11*13*15+3*4*10*22+0*13^2*15+2^3*4*24+4^2*5*8*21+3^2*4*9*21+2*4*5*9*21+2^2*5^2*23+1*2*15*18+1*2*6*9*21+1^2*2*5*24+0*5*15*17+0*5*6*8*21+0*3*5^2*23+0*2^2*3*25+0^2*3^2*25+0^2*4*5*24 8 136 4 12^3*13+5*30+5*9^3*20+7^2*9^2*20+2^3*4*24+1^3*3*25 8 136 4 8*27+12*13*18+5*13*22+4^2*26+2^2*9*23+1*3*4*25+0*3*5*25+5^3*23+11^2*19+0^2*7*25 7 137 4 10*11^2*14+6*29+1*2^2*8*23+3*4^2*9*21+0*11*13*18+0*4*13*22+0*4*5^2*23+0*10^2*19+0*3^2*26+0*2*4^2*24+0*1*5*6*23+0^3*8*24+0*1*3*8*23 8 137 4 10*12*13^2+6*8*9^2*20+1*31+3*5*27+0*2*4^2*24 8 137 4 17*19+8*26+5*9*23+2*7*25 6 138 4 10^2*12*14+1*10*13*18+0^2*2*7*24+1*3*5^2*23+0*10*11*19+0*2*3*8*23+0*3*4*26+4^2*11*22+2*4^2*5*23+0*2*5*6*23+1*6*27+2*31+3*5*10*22+2*12^2*18+0^2*18^2+1^2*17*18+2^2*16*18+7*29+3^2*5*9*21 8 138 4 11*12*13^2+7*8*9^2*20+0*1*3^2*25+2*31+4*5*27 8 138 4 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11*14^2*22+7*13*18*22+2*4^2*19*24+0^2*8*19*24+4*8*12*14*23+2*7*11*14*24+0*6*7*17*24+2*7^2*18*23+0*3*4*19*25+1^2*9*18*24+2*4*8*16*25+2*4*7*17*25+0*6^2*15*25+6*10*19*22+3*9*10*14*23+1*8*10*14*24+5^2*11*14*24+4^2*11*14*25+4*17^2*19+3*9*15*26+3^2*19*26+1*5*9*15*24+3*4*7*15*25+3^2*7*16*25+4*9*22^2+3^2*9*18*23+4*7*8*16*23+3*8^2*15*23+2*7*9*16*23+0*7*10*14*25 10 210 6 16*32+6*10*19*22+3*9*10*14*23+3^2*14^2*23+6^2*11^2*25+6^2*13^2*23+6^2*12^2*24+1*8*10*14*24+1^2*14^2*24+0*6*7*17*24+1^2*9*18*24+3^2*9*18*23+2*4*8*16*25+2*4*7*17*25+0^2*14^2*25+0*7*10*14*25+4*8*12*14*23+4^2*7*17*24+2*5*8*17*24+2*4*9*16*24+2*7*11*14*24+2*4^2*19*24+5^2*11*14*24+4^2*11*14*25+4*14*18*22+6*15*18^2+3^2*19*26+1*3*5*19*24+3*4*7*15*25+0^2*9*18*25+7*17^2*18+2*9*17*26+1*6*8*18*23 10 210 6 12*33+8*9*14*18*20+5*9*14*19*20+5*13^3*21+7^2*14*19*20+2*11^3*24+1*10^3*25 11 210 7 22*29+7^2*14*19*20+2*11^3*24+0^2*10*15*25+3*4*10*19*21+0*9*13*15*21+0*6*13*18*21+7*11*13^2*21+10^2*16*22+6*10*11*14*21+3*10*11*13*23+1*10*11*12*24+0*10*22^2+0*10*11^2*25+4*11*12^2*23+2^2*12*17*23+4^2*13*18*21+1*2*10*18*23+0*5*12*15*23+0*3*12*17*23+0^2*11*17*24 11 210 7 12*14^2*22+1*6^2*15*25+7*11*19*22+2*7*8*18*23+4*9*16*26+2*5*9*16*24+2^2*9*18*24+4*9*11*14*23+2*8*11*14*24+0*7^2*15*25+1*6*11*14*25+4^2*8*17*24+0*8*10*14*25+8*13*18*22+5*9*22^2+2^2*9*19*23+5*8*12*14*23+4^2*7*16*25+1*4*9*15*25+5^2*12*14*24+0*5*9*15*25+4^2*12*14*25+0*5*6*18*25+1*4*6*18*25+5*17^2*19+2^2*8*18*25+2^2*9*17*25+2*7^2*16*24+0*1*14^2*25 10 212 6 17*32+7*11*19*22+7^2*12^2*24+6^2*11*12*25+2*7*8*18*23+7^2*13^2*23+4*9*16*26+4^2*19*26+4*9*11*14*23+4^2*14^2*23+2*8*11*14*24+2*7^2*16*24+1*7*8*15*24+1*2*6*19*24+0*8^2*15*24+0*7^2*15*25+5*14*18*22+5^2*12*14*24+0*5*9*15*25+5^2*8*18*23+5*9^2*18*21+0*1*14^2*25+5*8*12*14*23+4^2*12*14*25+2*4*13*14*25+2*9*11*13*25+2^2*8*18*25+2*4*8*17*25+1*4*6*18*25+1*3*7*18*25 10 212 6 13*33+9^2*13*19*20+9^3*20*22+3*10*11*12*24+2^2*11*16*24+1*10*11*13*24+0^2*11*18*24+1*2*10*17*24+0*1*12*17*24+8^2*14*19*20+5*12^3*23+2*11*12^2*24+3*10^3*25 11 214 7 22*30+8^2*14*19*20+8*12*13^2*21+1^2*10*15*25+5^2*13*18*21+1*10*11*12*25+5*12^3*23+11^2*17*22+7*11*12*14*21+4*11*12*13*23+4*5*11*19*21+2*11*22^2+2*7*13*18*21+2*9*13*16*21+0*10*12^2*25+0^2*12*16*25+2^2*12*18*23+2^2*11*16*24+2*11*12^2*24 11 214 7 13*14^2*22+3*6^2*15*25+9*13*18*22+5^2*19*26+4^2*5*19*24+5*8^2*17*23+5^2*13*14*24+4^2*13*14*25+3*7*8*15*24+1*6*9*16*24+0*5*6*19*24+0*1*9*19*24+3^2*4*19*25+2*9*11*14*24+8*12*19*22+5*9*17*26+5^2*9*18*23+2*4*9*17*25+2^2*9*18*25+5*9*12*14*23+2*7*12*14*25+1*6*7*17*25+0*6*8*17*25+0*8^2*15*25+2*8^2*16*24+2*6^2*18*24+0*3*14^2*25+4*7*12*14*24+3*6*11*14*25+0*9*10*14*25 10 216 6 18*32+9^2*12^2*23+8*12*19*22+7^2*12^2*25+3*6*11*14*25+0*3*14^2*25+0*8^2*15*25+1^2*7*19*25+5*9*12*14*23+5^2*19*26+5^2*9*18*23+4^2*5*19*24+4^2*9*17*24+2^2*9*18*25+8^2*12^2*24+2^2*8*19*24+1*6*7*17*25+0*6*8*17*25+5^2*13*14*24+4*7*12*14*24+3^2*7*18*25+2*6^2*18*24+2*9*11*14*24+2*7*12*14*25+2*4*9*17*25+4^2*13*14*25+0*9*10*14*25+0*3*9*18*25+2*4*9*18*24 10 216 6 14*33+6*10^3*25+9*13^3*21+7*11*12*13*23+5*12*13^2*23+4*11*12*14*23+2^2*12*19*23+4*5*11*18*23+2*4*13*18*23+5^2*12*17*23+6*10*11*12*24+4^2*11*16*24+3^2*11*17*24+2*11*13^2*24+1*10*11*14*24+0^2*11*19*24 11 222 7 22*31+9^2*14*19*20+3^2*10*15*25+9*13^3*21+2*11*13^2*24+5*12*13^2*23+1*2*13*15*25+0*10*13^2*25+0*5*10*17*25+0*3*12*17*25+4*11*12*13*24+4^2*11*16*24+12^2*18*22+8*12*13*14*21+5^2*12*17*23+5*12*22^2+2*11*12*13*25+5^2*13*19*21+2^2*13*17*24+3*10*11*13*25 11 222 7 14^3*22+6^3*15*25+6^2*11*14*25+9*13*19*22+9^2*13^2*23+8^2*13^2*24+7^2*13^2*25+7^2*12*14*24+5*8*19*26+4^2*8*19*24+2*4*8*19*25+5*8*13*14*24+4*7*13*14*25+0*6*14^2*25+1*6*7*19*24+0*6*8*19*24+9^3*18*21+8^2*13*14*23+7^2*9*17*23+6^2*8*16*24+2*9^2*16*24+4*7*8*19*23+4^2*14^2*25+5^2*14^2*24+2*7*9*19*23+2*7*8*18*25+0*6*9*18*25+3*4*6*19*25 10 224 6 19*32+0*6*14^2*25+2*9^2*16*24+1*6*7*19*24+0*6*8*19*24+0*6*9*18*25+6^2*11*14*25+8^2*13*14*23+7^2*12*14*24+5*8*13*14*24+4*7*13*14*25+4*7*8*19*23+5*17*19^2+2^2*9*19*25+4*7*8*18*24+3*7*9*15*25+3*4*6*19*25+0*9^2*15*25+2*7*9*19*23+2*4*8*19*25 10 224 6 26*27+13^2*19*21+11^2*17*24+10^2*16*25+3^2*7*21*25+12^2*18*23+5^2*9*21*23+0^2*2*24*25+1^2*4*23*25+2^2*5*23*24+4^2*8*21*24 11 237 8 26^2+9^2*21*23+8^2*21*24+7^2*21*25+5^2*23*24+4^2*23*25+2^2*24*25 10 238 8 22*32+7*11*12*14*24+6*10*11*14*25+7^2*12*18*23+6^2*10*15*25+8*9*12*19*21+6^2*11*17*24+5*12*19*26+5*12*13*14*24+4*5*11*19*24+2*7*13*18*24+0*10*14^2*25+0*9*10*18*25+2*9*11*18*24+8*12*13*14*23+3*4*10*19*25+0*6*13*18*25+4*11*13*14*25+2*4*8*22*25+2*4*12*19*25+2^2*9*22*25+2^2*13*19*25 11 238 7
 E4 term の defining relations は all 2 9 では198個でしたが、all 2 10 では250個、 all 2 11 では262個見つかります。 dim = 9 のindecomposable element があるので、少なくとも dimension = 18 まで探索する必要があり, defining relations はまだまだ沢山あるはずです。修正した all.exe では2ギガのメモリーで どこまで計算できるかまだ分かりません。 もとの all.exe は効率よく計算するためにすべてのデータを保持していましたが、 修正した all.exe は必要最小限度のデータしか保持しないようにして、かなり使用メモリーを減らしましたが、 焼け石に水です。 計算時間は all 2 4 が1秒、all 2 5 が11秒、all 2 6 が1分24秒、all 2 7 が9分48秒、 all 2 8 が1時間6分48秒、all 2 9 が5時間45分、all 2 10 が29時間56分9秒、 all 2 11 が148時間59分24秒です。 必要記憶容量の目安になる最大要素数は all 2 4 では 19, all 2 5 では 46, all 2 6 では 110, all 2 7 では 300, all 2 8 では 721, all 2 9 では 1616 で、all 2 10 では 3369 で、all 2 11 では 6568 で、 それぞれ概数ですが 19*4=76, 46*5=230, 110*6=660, 300*7=2100, 721*8=5768,1616*9=14544, 3369*10=33690, 6568*11=72248 に比例したメモリーが必要だったと思われます。
 したがって、私のアルゴリズムでは E4 term を決定するだけでも膨大な計算時間と 膨大な記憶容量が必要でパソコンでは計算不可能です。

更に、diff.exe で [15/15/15/15] の微分を計算してみると



a23a8a8a8a8+a19a9a9a9a9+a11a11a11a11a11 は cocycle ですから、E4 term で d4(20)=9*3^4+8*4^4+5~5 となるので、E4 term で May Spectral Sequence の計算が終わった訳ではなく、 当然 d8(20^2)=? 等が問題になるので、少なくとも E8 term を計算する必要があります。
 64ビットの計算機を使わずに、これ以上どうしても計算したければ、計算機に随分助けてもらったと考え、 後は手計算で indecomposable elements が他にないかのチェックと defining relations の組合せ的探索を すればいいです。そうすれば、次のステップ(d4 の決定および E6 term の部分的な決定等)でまた計算機に 助けてもらえます。diff.exe の本質的な改良は思いつかないので、多分、高次の微分はメモリー不足で 計算不可能だと思いますし、もしこのようにして May Spectral Sequence を計算できたとしても、 defining relations の修正は記憶容量が足りず、すべてを diff.exe でチェックすることは不可能ですし、 cobar construction を使っては計算機で出来ないものは手計算は勿論不可能で、 bar construction を 使った手計算も経験的に言ってものすごく大変な作業になると思います。ただ、微分の計算は、 Steenrod operation を使う手法や matric Massey bracket を使う手法など別の方法も知られています。
 人間が直感的に計算しているプロセスをアルゴリズム化できればいいですが、いつでも正しいすべての答えが得られる ような旨いアルゴリズムはかなり考えましたがまだ発見できません。

すでに述べたように完全な構造を求めることは不可能ですが、部分的な結果なら求めることが出来ます。 出来るところまで計算してみます。
d4(20)=9*3^4+8*4^4+5~5 は求めたので、d4(21) を計算します。 diff.exe で [23/23/23/23] の微分を計算してみると



a23a16a16a16a16+a19a17a17a17a17+a11a19a19a19a19 は cocycle ですから、E4 term で d4(21)= 9*6^4+8*7^4+5*8^4 となります。
d4(22) = 0 を計算します。 diff.exe で [23/23/5^4/27]+[23/23/3^8/23]+[23/23/17/15^2]+[23/23/9^2/29] +[3^8/15/27/27]+[3^4/27/27/27]+[5^2/29/27/27]+[9/15^2/27/27] +[15/9^2/15^2/15^2]+[3^2/27/15^2/15^2]+[3/15^2/15^2/15^2]+[5^2/23/15^2/15^2] +[15/5^4/29/29]+[3^4/23/29/29]+[3^2/29/29/29]+[5/15^2/15^2/15^2] の微分を計算してみるとすぐに中断します。



a11a17a16a16b28+a19a9a16a16b28+a23a5a16a16b28+a11a17a17a17b26+a19a9a17a17b26+a23a5a17a17b26 +a11a19a19a17b22+a19a19a19a9b22+a23a5a19a19b22+a11a16a16a16b29+a19a8a16a16b29+a23a4a16a16b29 +a9a17a17a16b29+a5a19a19a16b29+a17a17a17a8b29+a23a2a17a17b29+a19a19a4a17b29+a23a23a5a8b29 +a2a19a19a19b29+a23a23a9a4b29+a23a23a11a2b29+a23a23a11a17b14+a23a23a19a9b14+a23a23a23a5b14 =d1(a16^2b28b29+a17^2b26b29+a19^2b22b29+a23^2b14b29) なので [17/17/29/15^2]+[9^2/9^2/7/15^2]+[5^4/5^4/23/15^2]+[3^8/3^8/15/15^2] を追加します。



a23a17a16^3+a19^2a17^2a16+a23a11a19^2a16+a23^3a2a17+a23^3a11a8+a23^2a19^2a4 =d1(b28a19^2a23+b26a17a23^2)+d2(a16a17b28^2+a8a23b29^2) なので [29/5^4/5^4/3^8]+[27/9^2/3^8/3^8]+[17/9^2/29/29]+[9/3^8/15^2/15^2] を追加します。



cocycle になったので、d3(22)= d4(22) = 0 です。
d4(23) を計算します。 diff.exe で [27/27/27/27] の微分を計算してみると



a23a23a23a23a11 は cocycle ですから、E4 term で d4(23)= 5*9^4 となります。
d4(24) を計算します。 diff.exe で [29/29/29/29] の微分を計算してみると



a23a23a23a23a19 は cocycle ですから、E4 term で d4(24)= 8*9^4 となります。
d4(25) を計算します。 diff.exe で [15^2/15^2/15^2/15^2] の微分を計算してみると



a23a23a23a23a23 は cocycle ですから、E4 term で d4(25)= 9^5 となります。
d4(26) を計算します。 diff.exe で [3^8/23/23/27/27]+[3^2/29/29/15^2/15^2]+[5^2/27/27/15^2/15^2] +[5^4/23/23/29/29]+[3^4/27/27/29/29]+[9^2/23/23/15^2/15^2] の微分を計算してみると約2分30秒で中断します。



a17^2(a11a17+a9a19+a5a23)b28^2+a19^2(a11a17+a9a19+a5a23)b26^2 +a23^2(a11a17+a9a19+a5a23)b22^2+a16^2(a11a17+a9a19+a5a23)b29^2 は d1(b29(a17^2b28^2+a19^2b26^2+a23^2b22^2+a16^2b29^2)) ですから [15^2/9^2/9^2/29/29]+[15^2/5^4/5^4/27/27]+[15^2/3^8/3^8/23/23]+[15^2/17/17/15^2/15^2] で消去できることを教えます。



a23^3a17a16^2+a23^2a19^2a17^2+a23^3a11a19^2 は cocycle ですから、E4 term で d4(26) = 9^2(6^2*7*9+7^2*8^2+5*8^2*9) となります。
d4(27) を計算します。 diff.exe で [3^8/3^8/15/15/23/23]+[5^4/5^4/15/15/27/27]+[17/17/15/15/15^2/15^2]+[3^4/3^4/23/23/27/27] +[9/9/23/23/15^2/15^2]+[9^2/9^2/15/15/29/29]+[5/5/27/27/15^2/15^2]+[3/3/29/29/15^2/15^2] +[3^2/3^2/27/27/29/29]+[5^2/5^2/23/23/29/29] の微分を計算してみると数分で中断します。



(a5^2a19a16^2+a11a9^2a16^2+a11a17^2a8^2+a19a4^2a17^2+a11^2a5a17^2 +a2^2a19^3+a5a19^2a9^2+a23^2a11a2^2+a23^2a5^3)b28^2 +(a23a5^2a16^2+a11^3a16^2+a11^2a9a17^2+a23a4^2a17^2+a11a19^2a8^2 +a19^2a9^3+a23a2^2a19^2+a23^2a5^2a9+a23^2a11a4^2)b26^2 +(a11^2a19a16^2+a23a9^2a16^2+a11^2a17^3+a23a17^2a8^2+a19^2a9^2a17 +a23^2a5^2a17+a19^3a8^2+a23^2a19a4^2+a23^3a2^2)b22^2 +(a5^2a17a16^2+a9^3a16^2+a11^2a5a16^2+a4^2a17^3+a9a17^2a8^2 +a2^2a19^2a17+a5a19^2a8^2+a23^2a2^2a9+a23^2a5a4^2)b29^2 =d2(a9^2b22^2b28^2+a5^2b26^2b28^2+a2^2b29^2b28^2+a11^2b22^2b26^2+a4^2b29^2b26^2+a8^2b22^2b29^2) +(a17^2b28^2+a19^2b26^2+a23^2b22^2+a16^2b29^2)d2(b14^2)
で、a17^2b28^2+a19^2b26^2+a23^2b22^2+a16^2b29^2 は cocycle なので
[5^2/5^2/23/23/29/29]+[3^2/3^2/27/27/29/29]+[3/3/15^2/15^2/29/29]+[3^4/3^4/23/23/27/27] +[5/5/15^2/15^2/27/27]+[9/9/23/23/15^2/15^2]+[9^2/9^2/29/29/15/15]+[5^4/5^4/27/27/15/15] +[3^8/3^8/23/23/15/15]+[17/17/15^2/15^2/15/15] で消去できることを教えます。数分で終了します。




d4(27) = 0 となります。
また、直前の計算は、手計算では気づきませんでしたが、計算機で連立方程式を解くと
(a5^2a19a16^2+a11a9^2a16^2+a11a17^2a8^2+a19a4^2a17^2+a11^2a5a17^2 +a2^2a19^3+a5a19^2a9^2+a23^2a11a2^2+a23^2a5^3)b28^2 +(a23a5^2a16^2+a11^3a16^2+a11^2a9a17^2+a23a4^2a17^2+a11a19^2a8^2 +a19^2a9^3+a23a2^2a19^2+a23^2a5^2a9+a23^2a11a4^2)b26^2 +(a11^2a19a16^2+a23a9^2a16^2+a11^2a17^3+a23a17^2a8^2+a19^2a9^2a17 +a23^2a5^2a17+a19^3a8^2+a23^2a19a4^2+a23^3a2^2)b22^2 +(a5^2a17a16^2+a9^3a16^2+a11^2a5a16^2+a4^2a17^3+a9a17^2a8^2 +a2^2a19^2a17+a5a19^2a8^2+a23^2a2^2a9+a23^2a5a4^2)b29^2
=d1(a2a19a19b22+a4a17a19b22+a5a16a19b22+a2a11a23b26+a8a11a17b26+a9a11a16b26+a5a5a23b29+a5a9a19b29+a5a11a17b29)b28b28 +d1(a2a19b22a23+a4a17b22a23+a5a16b22a23+a4a11a23b28+a8a11a19b28+a11a11a16b28+a5a9a23b29+a9a9a19b29+a9a11a17b29)b26b26 +d1(a2a23a23b26+a8a17a23b26+a9a16a23b26+a4a19a23b28+a8a19a19b28+a11a16a19b28+a5a17a23b29+a9a17a19b29+a11a17a17b29)b22b22 +d1(a4b14a19a23+a8b14a19a19+a11b14a16a19+a2a17a19b22+a4a11b22a23+a4a17a17b22+a5a16a17b22+a8a11a19b22+a11a11a16b22+a2a9a23b26+a8a9a17b26+a9a9a16b26+a4a5a23b28+a4a9a19b28+a4a11a17b28)b29b29
なので
[3/5^4/5^4/23/29/29]+[5/9^2/5^4/23/29/29]+[3^2/17/5^4/23/29/29]+[3/3^4/3^8/27/29/29]+ [9/3^4/9^2/27/29/29]+[5^2/3^4/17/27/29/29]+[3^2/3^2/3^8/15^2/29/29]+[3^2/5^2/5^4/15^2/29/29]+ [3^2/3^4/9^2/15^2/29/29]+[3/5^4/23/3^8/27/27]+[5/9^2/23/3^8/27/27]+[3^2/17/23/3^8/27/27]+ [5/3^4/3^8/29/27/27]+[9/3^4/5^4/29/27/27]+[3^4/3^4/17/29/27/27]+[3^2/5^2/3^8/15^2/27/27]+ [5^2/5^2/5^4/15^2/27/27]+[5^2/3^4/9^2/15^2/27/27]+[3/3^8/3^8/27/23/23]+[9/9^2/3^8/27/23/23]+ [5^2/17/3^8/27/23/23]+[5/5^4/3^8/29/23/23]+[9/5^4/5^4/29/23/23]+[3^4/17/5^4/29/23/23]+ [3^2/9^2/3^8/15^2/23/23]+[5^2/9^2/5^4/15^2/23/23]+[3^4/9^2/9^2/15^2/23/23]+[5/15/5^4/3^8/15^2/15^2]+ [9/15/5^4/5^4/15^2/15^2]+[3^4/15/17/5^4/15^2/15^2]+[3/9^2/5^4/23/15^2/15^2]+[5/3^4/23/3^8/15^2/15^2]+ [5/9^2/9^2/23/15^2/15^2]+[3^2/17/9^2/23/15^2/15^2]+[9/3^4/5^4/23/15^2/15^2]+[3^4/3^4/17/23/15^2/15^2]+ [3/5^2/3^8/27/15^2/15^2]+[9/5^2/9^2/27/15^2/15^2]+[5^2/5^2/17/27/15^2/15^2]+[5/3^2/3^8/29/15^2/15^2]+ [5/5^2/5^4/29/15^2/15^2]+[5/3^4/9^2/29/15^2/15^2]
で消去できることを教えます。数分で中断します。


a11a11a17a17a17a16b28+a11a19a9a17a17a16b28+a11a5a19a19a19a16b28+a23a23a11a11a5a16b28+ a11a19a17a17a17a8b28+a19a19a9a17a17a8b28+a23a23a5a4a17a17b28+a11a19a19a19a4a17b28+ a23a23a11a11a4a17b28+a5a19a19a19a19a8b28+a23a23a11a5a19a8b28+a19a19a19a19a9a4b28+ a23a23a11a19a9a4b28+a11a19a19a9a17a16b26+a19a19a19a9a9a16b26+a23a5a19a19a9a16b26+ a11a19a19a17a17a8b26+a19a19a19a9a17a8b26+a23a5a19a19a17a8b26+a23a11a2a19a19a17b26+ a23a2a19a19a19a9b26+a23a23a5a2a19a19b26+a23a11a11a17a17a16b22+a23a23a11a5a17a16b22+ a11a11a19a19a19a16b22+a23a23a5a19a9a16b22+a23a23a23a5a5a16b22+a23a23a11a11a11a16b22+ a23a11a19a17a17a8b22+a23a23a19a9a4a17b22+a23a23a11a2a19a17b22+a23a23a23a5a4a17b22+ a11a19a19a19a19a8b22+a23a23a11a11a19a8b22+a23a11a19a19a19a4b22+a23a23a2a19a19a9b22+ a23a23a23a5a2a19b22+a23a23a23a11a11a4b22+a11a11a17a17b29a16a16+a19a19a9a9b29a16a16+ a23a23a5a5b29a16a16+a23a11a19a17a17b14a16+a11a19a19a19a19b14a16+a23a23a11a11a19b14a16+ a23a19a19a17a17a8b14+a23a23a19a4a17a17b14+a19a19a19a19a19a8b14+a23a23a11a19a19a8b14+ a23a19a19a19a19a4b14+a23a23a23a11a19a4b14
=d1(a11b14a19a23a23+b14a17a17a19a23+b14a19a19a19a19+a11a11b22a23a23+a11a17a17b22a23+a11a19a19a19b22+a5a17a17a23b28+a9a17a17a19b28+a11a17a17a17b28)b28 +d1(a5a19a19a23b26+a9a19a19a19b26+a11a17a19a19b26)b26 +d1(a5b22a23a23a23+a9a19b22a23a23+a11a17b22a23a23+a11a11a23a23b28+a11a17a17a23b28+a11a19a19a19b28)b22 +d1(a2a19b22a23a23+a4a17b22a23a23+a5a16b22a23a23+a2a19a19a23b26+a8a17a19a19b26+a9a16a19a19b26+a4a17a17a23b28+a8a17a17a19b28+a11a16a17a17b28)b29 +d1(a11a19a23a23b28+a17a17a19a23b28+a19a19a19a19b28)b14
=d1(a11a19a23a23+a17a17a19a23+a19a19a19a19)b14b28 +d1(a11a11a23a23+a11a17a17a23+a11a19a19a19)b22b28 +d1(a5a17a17a23b28+a9a17a17a19b28+a11a17a17a17b28)b28 +d1(a5a19a19a23b26+a9a19a19a19b26+a11a17a19a19b26)b26 +d1(a5b22a23a23a23+a9a19b22a23a23+a11a17b22a23a23)b22 +d1(a2a19b22a23a23+a4a17b22a23a23+a5a16b22a23a23+a2a19a19a23b26+a8a17a19a19b26+a9a16a19a19b26+a4a17a17a23b28+a8a17a17a19b28+a11a16a17a17b28)b29
=d1((a11a19a23a23+a17a17a19a23+a19a19a19a19)b14b28) +d1((a11a11a23a23+a11a17a17a23+a11a19a19a19)b22b28) +(a17b14+a9b22+a5b26+a2b29)d1(a19b22a23a23) +(a19b14+a11b22+a5b28+a4b29)d1(a17b22a23a23) +(a23b22+a19b26+a17b28+a16b29)d1(a5b22a23a23) +(a17b14+a9b22+a5b26+a2b29)d1(a19a19a23b26) +(a23b14+a11b26+a9b28+a8b29)d1(a17a19a19b26) +(a23b22+a19b26+a17b28+a16b29)d1(a9a19a19b26) +(a19b14+a11b22+a5b28+a4b29)d1(a17a17a23b28) +(a23b14+a11b26+a9b28+a8b29)d1(a17a17a19b28) +(a23b22+a19b26+a17b28+a16b29)d1(a11a17a17b28)
で、a17b14+a9b22+a5b26+a2b29、a19b14+a11b22+a5b28+a4b29、a23b14+a11b26+a9b28+a8b29、a23b22+a19b26+a17b28+a16b29 は cocycle なので、
[3^4/5^4/3^8/3^8/15/29]+[9^2/9^2/5^4/3^8/15/29]+[5^4/5^4/5^4/5^4/15/29]+ [3^4/3^4/3^8/3^8/23/29]+[3^4/9^2/9^2/3^8/23/29]+[3^4/5^4/5^4/5^4/23/29]+ [9^2/15/5^4/23/3^8/3^8]+[5^2/23/5^4/23/3^8/3^8]+[3^2/29/5^4/23/3^8/3^8]+[3/15^2/5^4/23/3^8/3^8]+ [5^4/15/9^2/23/3^8/3^8]+[3^4/23/9^2/23/3^8/3^8]+[3^2/29/9^2/23/3^8/3^8]+[5/15^2/9^2/23/3^8/3^8]+ [3^8/23/3^2/23/3^8/3^8]+[5^4/27/3^2/23/3^8/3^8]+[9^2/29/3^2/23/3^8/3^8]+[17/15^2/3^2/23/3^8/3^8]+ [9^2/15/5^4/5^4/3^8/27]+[5^2/23/5^4/5^4/3^8/27]+[3^2/27/5^4/5^4/3^8/27]+[3/15^2/5^4/5^4/3^8/27]+ [3^8/15/9^2/5^4/5^4/27]+[3^4/27/9^2/5^4/5^4/27]+[5^2/29/9^2/5^4/5^4/27]+[9/15^2/9^2/5^4/5^4/27]+ [3^8/23/5^2/5^4/5^4/27]+[5^4/27/5^2/5^4/5^4/27]+[9^2/29/5^2/5^4/5^4/27]+[9/15^2/5^2/5^4/5^4/27]+ [5^4/15/9^2/9^2/3^8/29]+[3^4/23/9^2/9^2/3^8/29]+[3^2/29/9^2/9^2/3^8/29]+[5/15^2/9^2/9^2/3^8/29]+ [3^8/15/9^2/9^2/5^4/29]+[3^4/27/9^2/9^2/5^4/29]+[5^2/29/9^2/9^2/5^4/29]+[9/15^2/9^2/9^2/5^4/29]+ [3^8/23/3^4/9^2/9^2/29]+[5^4/27/3^4/9^2/9^2/29]+[9^2/29/3^4/9^2/9^2/29]+[17/15^2/3^4/9^2/9^2/29]
で消去できることを教えます。


a23a23a5a5a19a16b28+a23a23a5a19a4a17b28+a23a23a5a2a19a19b28+ a11a19a19a9a17a16b26+a19a19a19a9a9a16b26+a23a5a19a19a9a16b26+ a23a23a5a5a19a16b26+a11a19a19a9a17a8b26+a23a23a5a19a4a17b26+ a19a19a19a9a9a8b26+a23a5a19a19a9a8b26+a23a23a5a2a19a19b26+ a23a23a5a19a9a16b22+a23a23a11a5a19a16b22+a23a23a5a19a17a8b22+ a23a23a5a19a19a8b22+a23a23a23a5a19a4b22+a23a23a23a5a2a19b22+ a19a19a9a9b29a16a16+a19a19a9a17a8b29a16+a19a19a9a9a8b29a16+a23a2a19a19a9b29a16+ a19a19a9a17a8a8b29+a23a2a19a19a9a8b29
d4(28) を計算します。 diff.exe で [17/17/15/15/15/5^4/27]+[17/17/15/15/15/23/3^8]+[17/17/15/15/3^4/23/27]+[17/17/15/15/15/9^2/29]+ [17/17/15/15/3^2/27/29]+[17/17/15/15/5/27/15^2]+[17/17/15/15/3/29/15^2]+[17/17/15/15/9/23/15^2]+ [17/17/15/15/5^2/23/29]+[17/17/15/15/15/17/15^2]+[9/15/17/15/3^8/23/23]+[9/15/17/3^4/27/23/23]+ [9/15/17/5^2/29/23/23]+[9/15/17/9/15^2/23/23]+[9/9/23/15/3^8/23/23]+[9/9/23/3^4/27/23/23]+ [9/9/23/5^2/29/23/23]+[9/9/23/9/15^2/23/23]+[9/5/27/15/3^8/23/23]+[9/5/27/3^4/27/23/23]+ [9/5/27/5^2/29/23/23]+[9/5/27/9/15^2/23/23]+[9/3/29/15/3^8/23/23]+[9/3/29/3^4/27/23/23]+ [9/3/29/5^2/29/23/23]+[9/3/29/9/15^2/23/23]+[5/5/27/27/15/5^4/27]+[5/5/27/27/15/23/3^8]+ [5/5/27/27/3^4/23/27]+[5/5/27/27/15/9^2/29]+[5/5/27/27/3^2/27/29]+[5/5/27/27/5/27/15^2]+ [5/5/27/27/3/29/15^2]+[5/5/27/27/9/23/15^2]+[5/5/27/27/5^2/23/29]+[5/5/27/27/15/17/15^2]+ [5/17/5^4/15/15/27/27]+[3/9/5^2/23/23/29/29]+[3/15/17/15/9^2/29/29]+[3/15/17/3^2/27/29/29]+ [3/15/17/3/15^2/29/29]+[3/15/17/5^2/23/29/29]+[3/9/23/15/9^2/29/29]+[3/9/23/3^2/27/29/29]+ [3/9/23/3/15^2/29/29]+[3/9/23/5^2/23/29/29]+[3/5/27/15/9^2/29/29]+[3/5/27/3^2/27/29/29]+ [3/5/27/3/15^2/29/29]+[3/5/27/5^2/23/29/29]+[3/3/29/15/9^2/29/29]+[3/3/29/3^2/27/29/29]+ [3/3/29/3/15^2/29/29]+[3/3/29/5^2/23/29/29] の微分を計算してみると約7時間で中断します。



a5a5a5a17a16a16b26b28+a11a5a8a8a16a16b26b28+a11a9a4a8a16a16b26b28+a11a11a2a8a16a16b26b28+ a5a9a9a9a16a16b26b28+a11a11a5a5a16a16b26b28+a5a4a4a17a17a17b26b28+a9a9a4a17a17a8b26b28+ a11a2a9a17a17a8b26b28+a5a2a2a19a19a17b26b28+a5a19a19a9a4a8b26b28+a11a5a2a19a19a8b26b28+ a23a23a5a2a2a9b26b28+a23a23a5a5a4a4b26b28+a5a5a9a17a16a16b22b28+a9a9a9a9a16a16b22b28+ a11a11a5a9a16a16b22b28+a9a4a4a17a17a17b22b28+a9a9a17a17a8a8b22b28+a2a2a19a19a9a17b22b28+ a5a19a19a9a8a8b22b28+a23a23a2a2a9a9b22b28+a23a23a5a9a4a4b22b28+a11a9a8b14a16a16a16b28+ a5a5a2a17b29a16a16b28+a2a9a9a9b29a16a16b28+a11a11a5a2b29a16a16b28+a5a5a17a17b14a16a16b28+ a11a17a8a8b14a16a16b28+a9a9a9a17b14a16a16b28+a11a11a5a17b14a16a16b28+a23a11a2a8b14a16a16b28+ a9a9a17a17a8b14a16b28+a5a19a19a9a8b14a16b28+a2a4a4a17a17a17b29b28+a2a9a17a17a8a8b29b28+ a2a2a2a19a19a17b29b28+a5a2a19a19a8a8b29b28+a23a23a2a2a2a9b29b28+a23a23a5a2a4a4b29b28+ a4a4a17a17a17a17b14b28+a23a2a9a17a17a8b14b28+a2a2a19a19a17a17b14b28+a23a23a2a2a9a17b14b28+ a23a23a5a4a4a17b14b28+a23a5a2a19a19a8b14b28+a11a11a4a8a16a16b26b26+a23a5a2a4a16a16b26b26+ a5a5a19a4a17a16b26b26+a23a2a4a4a17a16b26b26+a11a19a4a8a8a16b26b26+a23a11a4a4a8a16b26b26+ a19a9a9a9a4a16b26b26+a23a2a2a19a4a16b26b26+a11a11a5a19a4a16b26b26+a11a9a4a17a17a8b26b26+ a5a19a4a4a17a17b26b26+a5a2a19a19a4a17b26b26+a23a9a9a4a4a17b26b26+a11a5a19a19a4a8b26b26+ a23a11a5a19a4a4b26b26+a23a23a5a2a9a4b26b26+a11a5a5a17a16a16b22b26+a23a5a2a8a16a16b22b26+ a11a9a9a9a16a16b22b26+a23a2a9a4a16a16b22b26+a23a11a2a2a16a16b22b26+a11a11a11a5a16a16b22b26+ a11a4a4a17a17a17b22b26+a11a9a17a17a8a8b22b26+a5a2a19a19a17a8b22b26+a2a19a19a9a4a17b22b26+ a11a5a19a19a8a8b22b26+a23a23a5a2a9a8b22b26+a23a23a2a9a9a4b22b26+a23a23a11a5a4a4b22b26+ a11a11a8b14a16a16a16b26+a23a5a2b14a16a16a16b26+a5a5a4a17b29a16a16b26+a9a9a9a4b29a16a16b26+ a11a11a5a4b29a16a16b26+a5a5a19a17b14a16a16b26+a23a2a4a17b14a16a16b26+a11a19a8a8b14a16a16b26+ a23a11a4a8b14a16a16b26+a19a9a9a9b14a16a16b26+a23a2a2a19b14a16a16b26+a11a11a5a19b14a16a16b26+ a11a9a17a17a8b14a16b26+a5a2a19a19a17b14a16b26+a11a5a19a19a8b14a16b26+a23a23a5a2a9b14a16b26+ a4a4a4a17a17a17b29b26+a9a4a17a17a8a8b29b26+a2a2a19a19a4a17b29b26+a5a19a19a4a8a8b29b26+ a23a23a2a2a9a4b29b26+a23a23a5a4a4a4b29b26+a19a4a4a17a17a17b14b26+a23a9a4a17a17a8b14b26+ a2a19a19a4a17a17b14b26+a23a23a2a9a4a17b14b26+a23a5a19a19a4a8b14b26+a23a23a5a19a4a4b14b26+ a23a2a9b14a16a16a16b22+a5a5a17a8b29a16a16b22+a9a9a9a8b29a16a16b22+a11a11a5a8b29a16a16b22+ a23a2a17a8b14a16a16b22+a23a5a5a17b14a16a16b22+a23a9a9a9b14a16a16b22+a23a23a2a2b14a16a16b22+ a23a11a11a5b14a16a16b22+a2a19a19a9a17b14a16b22+a23a23a2a9a9b14a16b22+a4a4a17a17a17a8b29b22+ a9a17a17a8a8a8b29b22+a2a2a19a19a17a8b29b22+a5a19a19a8a8a8b29b22+a23a23a2a2a9a8b29b22+ a23a23a5a4a4a8b29b22+a23a4a4a17a17a17b14b22+a23a9a17a17a8a8b14b22+a2a19a19a17a17a8b14b22+ a23a23a2a9a17a8b14b22+a23a5a19a19a8a8b14b22+a23a23a23a5a4a4b14b22+a5a5a17b29b14a16a16a16+ a9a9a9b29b14a16a16a16+a11a11a5b29b14a16a16a16+a5a19a17a17b14b14a16a16+a23a9a9a17b14b14a16a16+ a23a11a5a19b14b14a16a16+a4a4a17a17a17b29b14a16+a9a17a17a8a8b29b14a16+a2a2a19a19a17b29b14a16+ a5a19a19a8a8b29b14a16+a23a23a2a2a9b29b14a16+a23a23a5a4a4b29b14a16+a19a4a17a17a17b14b14a16+ a23a9a17a17a8b14b14a16+a2a19a19a17a17b14b14a16+a23a23a2a9a17b14b14a16+a23a5a19a19a8b14b14a16+ a23a23a5a19a4b14b14a16
これを見ると呆然としますが、ともかく
[3/17/17/3^8/15/23/27]+[3/5^2/3^8/3^8/15/23/27]+[3/9^2/5^4/5^4/15/23/27]+[5/3^4/5^4/3^8/15/23/27]+ [3^4/3^4/17/5^4/15/23/27]+[5/3^4/9^2/3^8/15/23/29]+[5/5^2/5^4/3^8/15/23/29]+[9/3^4/17/17/15/27/29]+ [3/5^2/9^2/3^8/15/27/29]+[3/3^4/5^4/5^4/15/27/29]+[5/3^2/5^4/3^8/15/27/29]+[5/3^4/9^2/5^4/15/27/29]+ [5^2/5^2/17/9^2/15/27/29]+[3/17/9^2/5^4/15/23/15^2]+[5/5/3^8/3^8/15/23/15^2]+[5/17/9^2/9^2/15/23/15^2]+ [3^2/17/17/9^2/15/23/15^2]+[9/3^4/17/5^4/15/23/15^2]+[3/5^2/17/3^8/15/27/15^2]+[5/5/5^4/3^8/15/27/15^2]+ [5/9/5^4/5^4/15/29/15^2]+[5/3^4/17/5^4/15/29/15^2]+[9/5^2/17/9^2/15/27/15^2]+[5^2/5^2/17/17/15/27/15^2]+ [5/5/9^2/3^8/15/29/15^2]+[5/3^4/17/9^2/15/29/15^2]+[3/5^2/5^2/3^8/23/27/29]+[5/3^2/3^4/3^8/23/27/29]+ [9/5^2/5^2/9^2/23/27/29]+[5^2/5^2/5^2/17/23/27/29]+[5/5^2/3^4/5^4/23/27/29]+[5/5/5^2/3^8/23/29/15^2]+ [5/9/5^2/5^4/23/29/15^2]+[5/9/3^4/9^2/23/29/15^2]+[5/5/3^2/3^8/27/29/15^2]+[5/5/5^2/5^4/27/29/15^2]+ [5/5/3^4/9^2/27/29/15^2]
の微分を追加してみます。







d4(29) を計算します。 diff.exe で [9^2/9^2/15/15/15/5^4/27]+[9^2/9^2/15/15/15/23/3^8]+[9^2/9^2/15/15/3^4/23/27]+[9^2/9^2/15/15/15/9^2/29]+ [9^2/9^2/15/15/3^2/27/29]+[9^2/9^2/15/15/5/27/15^2]+[9^2/9^2/15/15/3/29/15^2]+[9^2/9^2/15/15/9/23/15^2]+ [9^2/9^2/15/15/5^2/23/29]+[9^2/9^2/15/15/15/17/15^2]+[5^2/15/9^2/15/3^8/23/23]+[5^2/15/9^2/3^4/27/23/23]+ [5^2/15/9^2/5^2/29/23/23]+[5^2/15/9^2/9/15^2/23/23]+[5^2/3^2/27/15/3^8/23/23]+[5^2/3^2/27/3^4/27/23/23]+ [5^2/3^2/27/5^2/29/23/23]+[5^2/3^2/27/9/15^2/23/23]+[5^2/3/15^2/15/3^8/23/23]+[5^2/3/15^2/3^4/27/23/23]+ [5^2/3/15^2/5^2/29/23/23]+[5^2/3/15^2/9/15^2/23/23]+[5^2/5^2/23/15/3^8/23/23]+[5^2/5^2/23/3^4/27/23/23]+ [5^2/5^2/23/5^2/29/23/23]+[5^2/5^2/23/9/15^2/23/23]+[3^2/3^2/27/27/15/5^4/27]+[3^2/3^2/27/27/15/23/3^8]+ [3^2/3^2/27/27/3^4/23/27]+[3^2/3^2/27/27/15/9^2/29]+[3^2/3^2/27/27/3^2/27/29]+[3^2/3^2/27/27/5/27/15^2]+ [3^2/3^2/27/27/3/29/15^2]+[3^2/3^2/27/27/9/23/15^2]+[3^2/3^2/27/27/5^2/23/29]+[3^2/3^2/27/27/15/17/15^2]+ [3/9/5^2/23/23/15^2/15^2]+[3/15/17/15/9^2/15^2/15^2]+[3/15/17/3^2/27/15^2/15^2]+[3/15/17/3/15^2/15^2/15^2]+ [3/15/17/5^2/23/15^2/15^2]+[3/9/23/15/9^2/15^2/15^2]+[3/9/23/3^2/27/15^2/15^2]+[3/9/23/3/15^2/15^2/15^2]+ [3/9/23/5^2/23/15^2/15^2]+[3/5/27/15/9^2/15^2/15^2]+[3/5/27/3^2/27/15^2/15^2]+[3/5/27/3/15^2/15^2/15^2]+ [3/5/27/5^2/23/15^2/15^2]+[3/3/29/15/9^2/15^2/15^2]+[3/3/29/3^2/27/15^2/15^2]+[3/3/29/3/15^2/15^2/15^2]+ [3/3/29/5^2/23/15^2/15^2]+[3^2/9^2/5^4/15/15/27/27] の微分を計算してみると数時間で中断します。





 結論 : リー群 E8の Z2 cohomology の cohomology の決定は非常に困難な問題で、 私の手に負えるようなものではありませんでした。



高知大学名誉教授
中村 治
osamu@mg.pikara.ne.jp

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